完成方块

完成二次方程的平方$x^2+4x+3.＝0$。

解决方案

由上式可知，b = 4, c = 3。

要完成这个正方形，我们有

$x^2+4x\mathbf{+}{\mathbf{（}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{2}}\mathbf{）}}^{\mathbf{2}}+3.\mathbf{-}{\mathbf{（}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{2}}\mathbf{）}}^{\mathbf{2}}＝0$

注意，我们需要加${\left(\frac{4}{2}\right)}^2$和减${\left(\frac{4}{2}\right)}^2$来平衡这个等式。现在，注意到上面的前三项可以简化成一个完全平方的形式

$x^2+4x+{\left(\frac{4}{2}\right)}^2＝{\left(x+\frac{4}{2}\right)}^2＝{（x+2）}^2$

因此，方程变成

$x^2+4x+3.＝0\Rightarrow x^2+4x+{\left(\frac{4}{2}\right)}^2+3.-{\left(\frac{4}{2}\right)}^2＝0\Rightarrow {（x+2）}^2-1＝0$

如你所见，我们把方程从标准形式变成了顶点形式h = -2 k = -1。

完成以下二次方程的平方:

$x^2+4x+3.＝0$。

解决方案

对于上面的二次方程，使用这个表达式$x^2+2hx+h^2+k$把左边表示为${（x+h）}^2+k$。

结合这两个表达式，我们有

$x^2+4x+3.＝0x^2+2hx+h^2+k＝0$

从这里我们可以看出4x一定是2hx的形式，所以d = 2$2（2x）＝4x。$

常数3必须是h的形式²加上k，因为我们知道d = 2，

因此，我们得到

$x^2+4x+3.＝0\Rightarrow {（x+2）}^2-1＝0$

就像我们之前解的那样。

用完整的平方法求解二次方程$x^2-6x-12＝0$。

解决方案

由上式可知，b = -6, c = -12。

然后我们注意到

$x^2-6x\mathbf{+}{\mathbf{（}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{）}}^{\mathbf{2}}-12\mathbf{-}{\mathbf{（}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{）}}^{\mathbf{2}}＝0$

将前三项简化为完全平方项并求解，得到

${\left(x-\frac{6}{2}\right)}^2-21＝0\Rightarrow {（x-3.）}^2-21＝0$

现在解出x

${（x-3.）}^2＝21\Rightarrow x-3.＝\pm \sqrt{21}\Rightarrow x＝\pm \sqrt{21}+3.\Rightarrow x＝-\sqrt{21}+3.\mathrm{一个}ndx＝\sqrt{21}+3.$

因此我们有两个解，精确到两个小数点

$x＝-\sqrt{21}+3.\approx -1。58x＝\sqrt{21}+3.\approx 7。58$

完成的正方形$10x^2-2x+1＝0$解出x。

解决方案

步骤1:将表达式除以a = 10

$x^2-\frac{2}{10}x+\frac{1}{10}＝0\Rightarrow x^2-\frac{1}{5}x+\frac{1}{10}＝0$

步骤2:移动术语$\frac{1}{10}$到另一边去

$x^2-\frac{1}{5}x＝-\frac{1}{10}$

现在将整个方程乘以a = 10，我们得到顶点形式

$10{\left(x-\frac{1}{10}\right)}^2+\frac{9}{10}＝0$

步骤4:两边开平方根

$x-\frac{1}{10}＝\pm \sqrt{-\frac{9}{\mathrm{One\; hundred.}}}＝\pm 我\sqrt{\frac{9}{\mathrm{One\; hundred.}}}＝\pm \frac{3.我}{10}$

请注意记住这一点$\sqrt{-1}＝我，罪ce{我}^2＝-1$

步骤5:解x，

$x＝\pm \frac{3.我}{10}+\frac{1}{10}$

因此，我们有两个解决方案

$x＝\frac{-3.我+1}{10}\mathrm{一个}ndx＝\frac{3.我+1}{10}$

完成的正方形$-3.x^2-4x+8＝0$解出x。

解决方案

步骤1:将表达式除以a = -3

$x^2-\frac{4}{（-3.）}x+\frac{8}{（-3.）}＝0\Rightarrow x^2+\frac{4}{3.}x-\frac{8}{3.}＝0$

步骤2:移动术语$-\frac{8}{3.}$到另一边去

$x^2+\frac{4}{3.}x＝\frac{8}{3.}$

步骤3:完成正方形并平衡等式

$x^2+\frac{4}{3.}x+{\left(\frac{4}{2（3.）}\right)}^2＝\frac{8}{3.}+{\left(\frac{4}{2（3.）}\right)}^2\Rightarrow x^2+\frac{4}{3.}x+{\left(\frac{2}{3.}\right)}^2＝\frac{8}{3.}+{\left(\frac{2}{3.}\right)}^2\Rightarrow {\left(x+\frac{2}{3.}\right)}^2＝\frac{28}{9}\Rightarrow {\left(x+\frac{2}{3.}\right)}^2-\frac{28}{9}＝0$

现在把整个方程乘以a = -3，我们得到顶点形式

$-3.{\left(x+\frac{2}{3.}\right)}^2+\frac{28}{3.}＝0$

步骤4:两边开平方根

$x+\frac{2}{3.}＝\pm \sqrt{\frac{28}{9}}＝\pm \frac{2\sqrt{7}}{3.}$

步骤5:解x，

$x＝\pm \frac{2\sqrt{7}}{3.}-\frac{2}{3.}＝\frac{\pm 2\sqrt{7}-2}{3.}$

因此，我们有两个解决方案

$x＝\frac{-2（\sqrt{7}+1）}{3.}\mathrm{一个}nd\frac{2（\sqrt{7}-1）}{3.}$

确定是否为二次方程$10x^2-2x+1＝0$有最大值或最小值。因此，求出它的拐点的坐标。

解决方案

x的系数²是正的，因为a = 10。因此，我们有一个最小值。在这种情况下，曲线打开。由这个表达式的完全平方形式的推导，我们得到

$10{\left(x-\frac{1}{10}\right)}^2+\frac{9}{10}＝0$。

在这里,$x＝\frac{1}{10}$。

记住a的值不会改变顶点的x值!

因此，最小值为$\frac{9}{10}$当$x＝\frac{1}{10}$。

最小拐点的坐标为$\left(\frac{1}{10}，\frac{9}{10}\right)。$图表如下所示。

确定是否为二次方程$-3.x^2-4x+8＝0$有最大值或最小值。因此，求出它的拐点的坐标。

解决方案

x的系数²是负的，a = -3。因此，我们有一个最大值。在这种情况下，曲线向下打开。由这个表达式的完全平方形式的推导，我们得到

$-3.{\left(x+\frac{2}{3.}\right)}^2+\frac{28}{3.}＝0$。

在这里,$x＝-\frac{2}{3.}$。

因此，最大值为$\frac{28}{3.}$当$x＝-\frac{2}{3.}$。

最大拐点的坐标为$\left(-\frac{2}{3.}，\frac{28}{3.}\right)。$图表如下所示。