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你有没有考虑过如何找出一个联立方程组是否包含一个解?你可能会建立一个方程组来比较你想买的东西的价格，比较不同选项中的几个因素，但你如何检查你是否正确地建立了这个方程组，以及是否有可供比较的解决方案呢?
你可以把这个方程组存储在一个矩阵中然后求出这个矩阵的行列式来决定是否有解。
进一步阅读，了解更多关于这是如何工作的。
矩阵是用来存储、显示和计算数据的数组。这些内部元素被称为元素，矩阵将有\(m\)列和\(n\)行。
为了理解什么是行列式以及如何应用它，我们必须首先理解什么是矩阵。
矩阵是一种显示信息的方式例如，一个联立方程组可以写成矩阵形式，其中列表示变量，行表示方程。这些解会形成一个列向量。矩阵表示法使它更容易进行转换和解决数据集-特别是当有超过2个方程需要解决!
但是我们如何解一个矩阵呢?这就是行列式的用武之地——我们用它们来解矩阵。
一般的矩阵表示法是\(m\)表示列数，\(n\)表示行数。矩阵的内部可以写成:\[现代{m, n} = {bmatrix} \开始现代{1 1}&现代{1,2}& \ cdots &现代{1,n} \ \现代{2,1}&现代{2,}& \ cdots &现代{2 n} \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \现代{m, 1} &现代{m, 2} & \ cdots &现代{m, n} \ {bmatrix}结束\]
要了解更多信息和示例，请参阅我们关于Core Matrices的文章。
(2\ * 2\)矩阵的例子\[现代{2,}= {bmatrix} \开始3 & 12和3 \ \ \ {bmatrix}结束\]
(2\ * 3\)矩阵的例子\[现代{2,3}= {bmatrix} \开始2 &-4&19 \ \ 11 &23&5 \ {bmatrix}结束\]
(4\ * 3\)矩阵的例子\[现代{4 3}= {bmatrix} \开始2 8 4 \ \ 2 13 &9&7 &-5&-3 \ \ \ \ 7 &3&-2 \ {bmatrix}结束\]
矩阵是一种非常有用的显示和存储大量信息的方法，它们在数学、物理和工程这些学科的更高层次上被广泛使用。
现在我们知道了矩阵的基本知识但是什么是行列式，为什么它是相关的?
行列式是一个我们可以为任何方阵求出的值我们可以用它来计算逆矩阵。
方阵是一个行数和列数相等的矩阵，\(m=n。\)
如下图所示，方阵有相等数量的行和列来形成正方形
(2\ * 2\)矩阵的例子\[现代{2,}= {bmatrix} \开始3 & 12和3 \ \ \ {bmatrix}结束\]
(3\ * 3\)矩阵的例子\[现代{3 3}= {bmatrix} \开始1 2 3 \ \ 4 5和6 \ \ 7 8和9 \ {bmatrix}结束\]
一个可逆矩阵是一个矩阵我们可以找到另一个矩阵，使得它们的乘积是单位矩阵\((I)\)．
我们的初始矩阵可以记为\(A\)，第二个矩阵是这个矩阵的逆矩阵，所以记为\(A^{-1}\)。这就得到了恒等式\[AA^{-1}=I.\]你可以把逆矩阵看成矩阵世界的倒数。
行列式也告诉我们如果矩阵是可逆的。设矩阵A的行列式记为\(\det{A}.\)
有关求矩阵逆的更多信息和示例，请参阅我们的文章求矩阵逆。
现在我们知道了什么是行列式以及它的用途但我们仍然需要知道它们是如何工作的。
让我们从最基本的形式开始——一个\(2\ * 2\)矩阵行列式。计算(2\ * 2\)矩阵行列式的方法基本上是通过交叉相乘，然后将这些相乘的值相减来解释的。
让我们考虑下面的矩阵，\[A_{2,2} = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{bmatrix}\]这是我们之前使用的符号，但让我们用不同的元素来写它，这样方法更容易遵循。因此，\[A_{2,2} = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\]我们的第一步是交叉相乘——我们乘以左上，右下，然后乘以右上，左下——然后从第一个乘法中减去第二个乘法。因此，\[\det{A}=ad-cb\]在我们最初的标记中，这将是，\[\det{A}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}\]现在让我们将其应用到一个示例中。
[A=\begin{bmatrix}4&9\\-2&8\end{bmatrix}\] [A=\begin{bmatrix}4&9\\-2&8\end{bmatrix}\]
解决方案
步骤1。求行列式
{对齐}\ \[\开始侦破{一}& = ad-cb \ \ & = (4 \ cdot 8) - (9 \ cdot 2) \ \ & = 32 -(-18) \ \ & = 50 \{对齐}结束\]
步骤2。判断矩阵A是否可逆
\(\det{A} \neq 0\)，因此矩阵\(A\)是非奇异的，因此是可逆的。
接下来我们将学习如何求一个(3\ * 3\)矩阵的行列式。
现在我们已经看到了如何求(2\ * 2\)矩阵的行列式，但在高等数学中我们也会遇到(3\ * 3\)矩阵，所以现在让我们看看如何求这些矩阵的行列式。
这个过程比\(2\ * 2\)矩阵行列式稍微复杂一些，但遵循相同的原理。让我们考虑下面的矩阵，\[A_{3,3}=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\]我们计算它的行列式的方法是把它分解成一系列的\(2\ * 2\)矩阵。
要做到这一点，我们沿着最上面的一行，把每个元素都乘以行列式蚂蚁的小调。
在\(3\ * 3\)矩阵中，如果你划掉根元素的行和列，剩下的元素就是子元素。
注意行列式公式的符号约定——它是\(+，-，+\)
在上面的提示中，您可以看到符号约定是\(+，-，+\)。这些是\(3\ * 3\)矩阵第一行的余子。
虽然稍微超出了您期望在这里处理的范围，但矩阵中的每个元素都有余子式。
这意味着我们也可以用第2行或第3行作为根元素来求矩阵的行列式，然后从那里取余子式——我们只需要应用正确的余子式来做到这一点。
但是，您现在需要关心的是顶部行和\(+，-，+\)。
现在让我们看看如何将其应用到一个例子中。
\[A_{3,3}=\begin{bmatrix}4&8&12\\7&19&2\\0&5&2\end{bmatrix}\]
解决方案
我们应用公式行列式。\[{对齐}\ \开始侦破{一}& = (ei-fh) - b (di-fg) + c (dh-eg) \ \ & = 4 [(19 \ cdot 2) - (2 \ cdot 5)] 8 [(7 \ cdot 2)——(2 \ cdot 0)] + 12 ((7 \ cdot 5) - (19 \ cdot 0)) \ \ & = 4((38) -(10)) 8((14) -(0)) + 12((35) -(0)) \ \ & = 4(28) 8(14) + 12(35) \ \ & = 112 - 112 + 420 \ \ & = 420 \{对齐}结束\]
在定义对角矩阵后，我们现在要进一步了解对角矩阵的行列式。
要计算对角矩阵的行列式，我们必须首先了解对角矩阵是什么。
一个对角矩阵是一个矩阵吗所有非对角线元素为0．这并不意味着对角线元素本身不能保持0的值，但它确实意味着任何非对角线元素都是0。
这需要的形式,\ [= \ {bmatrix}开始现代{1 1}& 0 0 \ cdots & 0 \ \ 0 &现代{2,}& 0 & \ cdots & 0 \ \ 0 &0&a_ {3 3} & \ cdots四维\ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ & 0 0 \ cdots &现代{m, n} \ {bmatrix}结束\]
对角线矩阵的行列式可以在对角线元素相乘时求出来。
的对角矩阵的行列式是对角元素的乘积．因此,\[\侦破{一}=现代{1 1}\ cdot现代{2,}\ cdot现代{3 3}\ cdot \四\ cdots \四\ cdot现代{m, n} \]
如果对角线元素不都是非零值，那么矩阵就不可能是非奇异的，因为带\(0\)in的乘积总是会返回\(0\)的解，正如我们之前看到的，这使得矩阵是奇异且不可逆的。
让我们看一个例子。
找到\ \侦破{一}\,,\[现代{5,5}= {bmatrix} \开始13 &0&0&0&0 &-6&0&0&0 \ \ \ \ 0 0 0 &0&0&-1&0 &0&7&0&0 \ \ \ \ 0 &0&0&0&3 \ {bmatrix}结束\]
解决方案
我们知道对角矩阵的行列式是对角元素的乘积。{对齐}\ \[\开始侦破{一}& =现代{1 1}\ cdot现代{2,}\ cdot现代{3 3}\ cdot现代{4 4}\ cdot现代{5,5}\ \ & = (13)\ cdot (6) \ cdot (7) \ cdot (1) \ cdot(3) \ \ & = 1638 \{对齐}结束\]。
我们能计算逆矩阵的行列式吗?答案是，是的!
我们最后要考虑的矩阵是行列式的逆矩阵。
为了使逆矩阵存在，我们知道原矩阵的行列式必须是非零值。我们之前也把逆矩阵比作原始矩阵的倒数这在这里也会用到。
逆矩阵的行列式等于原矩阵的倒数。在数学术语中，这意味着逆矩阵的行列式采用以下形式，\[\det{A^{-1}}=\frac{1}{\det{A}}.\]
让我们看看下面的例子。
取下面的矩阵A，看它是否可逆。如果矩阵A是可逆的，求这个逆矩阵的行列式。
\ [= \ {bmatrix} 6日开始结束2个12和9 \ \ \ {bmatrix} \]
解决方案
步骤1。求(A\)的行列式
{对齐}\ \[\开始侦破{一}& = ad-cb \ \ & = (6 \ cdot 9) - (12 \ cdot 2) \ \ & = 54-24 \ \ & = 30 \{对齐}结束\]
步骤2。判断矩阵A是否可逆
\(\det{A} \neq 0\)，因此矩阵\(A\)是非奇异的，因此是可逆的。
步骤3。求逆矩阵的行列式
{对齐}\ \[\开始侦破一个^{{1}}& = \压裂{1}{\侦破{一}}\ \ & = \压裂{1}{30}。结束\{对齐}\]
乘以矩阵最上面行元素乘以它的子行列式(2x2)然后你将遵循+，-，+的符号惯例将这三个小行列式和2x2行列式放在一起这就是3x3行列式。
用左上的元素乘以右下的元素。然后用右上的元素乘以左下的元素。
如果矩阵是2x2，那么用左上的元素乘以右下的元素。然后用右上的元素乘以左下的元素。如果是3x3，那么取最上面一行的元素，乘以它们的余子行列式，然后按照+，-，+的符号约定将它们放在一起。
是的，它们有相同的行列式
矩阵的行列式是非零值
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