线性规划问题的表述

一家工厂生产两种类型的产品\(S\)和\(T\)，并以\(S\)和\(T\)的利润\(2美元)和\(3美元)的利润出售它们。每种产品在两台机器\(M_1\)和\(M_2\)上加工。类型\(S\)在\(M_1\)上需要\(1\)分钟的处理时间，在\(M_2\)上需要\(2\)分钟。类型\(T\)需要\(1\)分钟在\(M_1\)上，1分钟在\(M_2\)上。机器\(M_1\)的可用时间不超过\(6\)小时\(40\)分钟，而机器\(M_2\)在任何工作日内的可用时间为\(10\)小时。将问题表述为LPP，以实现利润最大化。

解决方案:

让工厂决定生产\(x_1\)单位的产品\(S\)和\(x_2\)单位的产品\(T\)以使其利润最大化。

为了生产这些类型\(S\)和\(T\)的产品，需要\(x_1+x_2\)在\(M_2\)和\(2x_1+x_2\)在\(M_2\)上的加工分钟。由于机器\(M_1\)最多可工作\(6\)小时\(40\)分钟，\(M_2\)最多可工作\(10\)小时，因此约束为

\ [x_1 + x_2 \ leq 400 \] \ [2 x_1 + x_2 \ leq 600 \]和\ [x_1、x_2 \组0。\]

因为类型S的利润是2美元，类型T的利润是3美元，所以总利润是2x_1+3x_2。由于目标是利润最大化，目标函数是最大化(Z=2x_1+3x_2)。

在约束条件下，LPP的完整表达式为\(\text {maximize}\， Z=2x_1+3x_2\)

\ [x_1 + x_2 \ leq 400 \]

600年\ [2 x_1 + x_2 \ leq \]

\[x_1,x_2 \geq 0.\]

一家生产智能手表和旗舰手机的公司。该公司的预测显示，预计每天至少有200部旗舰手机和140部智能手表的需求。由于生产部门的一些限制，每天只能生产300只旗舰手机和180只智能手表。

为了方便运输合同，每天必须至少运送240件货物。如果每卖出一款旗舰手机，就会亏损10美元，但每卖出一款智能手表就会盈利20美元;那么，为了实现净利润的最大化，每款智能手表和旗舰手机的日均产量应该是多少?

解决方案:

让我们按照所涉及的步骤来解决给定的线性规划问题。

步骤1:你必须找到决策变量。你被要求优化公司生产的智能手机和旗舰手机的数量。这些将是给定问题中的决策变量。

令\(x=\)旗舰手机的产量和\(y=\)智能手机的产量

因此，\(x\)和\(y\)是给定问题中的两个决策变量。

步骤2:现在你必须考虑约束条件。由于该公司不能生产负数量的旗舰手机和智能手表，因此明显的限制将是\[x \ge 0，\]和\[y \ge 0]。在给定的问题中，给出了该公司销售其智能手表和旗舰手机的下限。你可以把它们写成\[x \ge 200，\]和\[y \ge 140。\]考虑到生产部门的限制，给出了这些制造的上限。你可以把它们写成\[x \le 300，\]和\[y \le 180.\]此外，由于运输问题，智能手表和旗舰手机都有联合约束。契约为\[x+y \ge 240.\]

步骤3:现在考虑目标函数。你必须优化净利润函数。它被给出为\[P=-10x+20y。\]

步骤4:最后一步是解决问题。

\[\text {maximum}\， P=-10x+20y \]

以\[200 \le x \le 300，\] \[140 \le y \le 180，\]及\[x+y \ge 240.\]

戴夫想要决定他的饮食成分，以最低的成本满足他每天对蛋白质、脂肪和碳水化合物的需求。他从四种不同的食物中获得这些营养。下表给出了他每单位食物的产量。