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的幂级数本文展示了如何用一系列幂函数来写函数的一些很好的例子。然而，这个过程是相当棘手的，考虑到你唯一的基级数是几何级数．通过将函数与几何级数和进行比较，可以写出某些特定函数的幂级数展开式。如何快速写出任意函数的幂级数展开式呢?这是一个简单的答案，如果你知道泰勒级数．使用泰勒级数，你可以把任何可微函数写成a幂级数．
幂级数的一种特殊类型是泰勒级数．事实上泰勒级数是定义级数的好方法。通过观察定义，你会发现泰勒级数可以模拟任何函数，因为它是基于衍生品函数的。让我们从它的定义和一个例子开始:
设\(f \)是一个函数衍生品在x=a的所有阶上。的泰勒级数对于\(f \) at \(x=a \)是
\ [T_f f (x) = (1) + f (a) (x) + \ dfrac {f”(a)} {2 !} (x) ^ 2 + \ cdots + \ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n !} (x) ^ n + \ cdots \]
其中\(T_f\)表示\(f\)的泰勒级数，\(f ^{(n)} \)表示\(f\)的\(n\)-th阶导数。
首先，请注意这确实是一个以\(x=a\)为中心的幂级数，其中每个系数由
\ [\ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n !}。\]
换句话说，泰勒级数的每一项都是基于\(f\)在\(x=a \)处的导数，所以为了写出泰勒级数，你需要有一个可以反复微分的函数\(f\)。让我们看一个例子。
在\(x=1\)处写出f(x) = e^x \)的泰勒级数。
答:
\[\{对齐}开始f (x) & = e x ^ \ \ f (x) & = e x ^ \ \ f (x) & ^ = e x \{对齐}结束\]。
你很快就会发现，如果你继续求导，有一个模式:
\ [f ^ {(n)} (x) = e ^ x。\]
\ [f ^ {(n)} (1) = e。\]
\ [T_f (x) = e + e (x - 1) + \ dfrac {e} {2 !} (x - 1) ^ 2 + \ cdots + \ dfrac {e} {n !} (x - 1) ^ n + \ cdots \]
使用求和符号(也称为sigma符号)，在\(x=1\)处\(f(x) = e^x \)的泰勒级数可以写成:
\ [T_f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {e} {n !} (x - 1) ^ n。\]
注意，在这个例子中，您只需知道函数的导数，就可以快速地将函数\(f(x)=e^x\)写成简单而直接的幂级数。
泰勒级数通常以不同的方式呈现，这取决于它是如何被使用的。然而，它的公式保持相同的模式。让我们看看如何用求和符号来表示它:
设\(f \)是一个函数，它在\(x=a \)处具有所有阶的导数。的泰勒级数对于\(f \) at \(x=a \)是
\ [T_f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n !} (x) ^ n, \]
其中\(f^{(n)} \)表示\(f\)的\(n\)-th导数，\(f^{(0)}\)是原函数\(f\)。
为了节省空间，我们继续用泰勒级数的和表示法。现在让我们看一个例子，它涉及一个熟悉的函数。
写出泰勒级数
\[f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
At (x=0\)。
答:
\[开始\{对齐}f (x) & = \ dfrac {1} {(1 - x)} \ \ f (x)的& = \ dfrac {1} {(1 - x) ^ 2} \ \ f (x)”& = \ dfrac {2} {(1 - x) ^ 3} \ \ f”“(x) & = \ dfrac {6} {(1 - x) ^ 4}。结束\{对齐}\]
如果你继续服用衍生品，你可以看到以下模式:
\ [f ^ {(n)} (x) = \ dfrac {n !} {(1 - x) ^ {n + 1}}。\]
\ [f ^ {(n)} (0) = n ! \]。
\[开始\{对齐}T_f (x) & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {n !} {n !}x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}x^n .\end{align} \]
因此，你得到了这个函数的泰勒级数
\[f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
At (x=0\)。
虽然你在前面的例子中找到了\(f\)的泰勒级数，如果你回头看几何级数，上述级数只有在\(|x|<1\)时才收敛。的两个重要定义幂级数篇文章,收敛半径还有收敛的区间，写任何幂函数都需要考虑。通过这样做，你可以弄清楚这个级数是否对于\(x \)的每一个值都收敛，或者它是否只收敛于一个特定的区间。
检查\(f(x)=e^x \)的泰勒级数在\(x=1\)的收敛半径和区间。
答:
正如你已经从第一个例子中知道的，在\(x=1 \)处的\(f\)的泰勒级数是
\ [T_f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {e} {n !} (x - 1) ^ n。\]
\ [\ lim \ limits_ {n \ \ infty} \左| \压裂{现代{n + 1}} {an} \ | < 1。\]
\[a_n= \dfrac{e}{n!}(x-1)^n.\]
\[开始\{对齐}L & = \ lim \ limits_ {n \ \ infty} \左| \压裂{现代{n + 1}} {an} \右| \ \ & = \ lim \ limits_ {n \ \ infty} \左| \压裂{e (x - 1) ^ {n + 1}} {(n + 1) !} \ cdot \压裂{n !} {e (x - 1) ^ {n}} \右| \ \ & = \ lim \ limits_ {n \ \ infty} \左| \压裂{x - 1} {(n + 1)} \右| \ \ & = | x - 1 | \ lim \ limits_ {n \ \ infty} \压裂{1}{(n + 1)} \ \ & = 0 \{对齐}结束\]。
因此，由于极限总是小于1，并且实际上与\(x \)的值无关，收敛区间为\((-\infty， \infty)\)收敛半径是\(R=-\infty\)。
现在你知道了如何写给定函数和中心点的泰勒级数，你可以写级数了扩张对于任何函数衍生品所有的命令。首先，让我们定义何时可以说\(f(x) = T_f(x)\)。
设\(f \)是一个函数衍生品(x=a \)，设T_f为(x=a \)的泰勒级数。那么对于收敛区间内的每一个x的值，
\ [f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n !} (x) ^ n = T_f (x)。\]
也就是说，在收敛区间内，泰勒级数\(T_f\)与函数\(f\)完全相同，且\(T_f\)为a幂级数扩展\(f\)。
找到一个幂级数函数\(f(x)=\sin(x)\)以\(x=\pi\)为中心展开。
答:
为了找到这样的展开，你需要找到\(\sin(x)\)在\(x=\pi\)处的泰勒级数。
\[开始\{对齐}f (x) & = \ sin (x) \ \ f (x)的& = \ cos (x) \ \ f (x)”& = - \ sin (x) \ \ f”“(x) & = - \ cos (x)。结束\{对齐}\]
如果你继续求导，你可以看到下面的模式
\[f^{(n)}(x)=(-1)^{\tfrac{n}{2}}\sin(x) .\]
\ [f ^ {(n)} (x) = (1) ^ {\ tfrac {n} {2}} \ cos (x)。\]
如果\(n\)是偶数:
\[开始\{对齐}f ^ {(n)} (x) & = (1) ^ {\ tfrac {n}{2}} \罪(\π)\ \ & = 0 \{对齐}结束\]
如果\(n\)是奇数:
\[开始\{对齐}f ^ {(n)} (x) & = (1) ^ {\ tfrac {n} {2}} \ cos(\π)\ \ & = (1)^ {\ tfrac {n + 1}{2}} \{对齐}结束\]。
\[开始\{对齐}T_f (x) & = 0 - (x - \π)+ 0 + \ dfrac {(x - \π)^ 3}{3 !}+ 0 - \ dfrac {(x - \π)^ 5}{5 !} + \点\ \ & = - (x - \π)+ \ dfrac {(x - \π)^ 3}{3 !}- \ dfrac {(x - \π)^ 5}{5 !}+ \ dfrac {(x - \π)^ 7}{7 !} + \点\{对齐}结束\]
\ [T_f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ n \ dfrac {(x - \π)^ {2 n + 1}} {(2 n + 1) !} \]。
\[开始\{对齐}l = \ lim \ limits_ {n \ \ infty} \左| \ dfrac {(1) ^ {n + 1} (x - \π)^ {2 (n + 1) + 1}} {(2 (n + 1) + 1) !} \ cdot \ dfrac {(2 n + 1) !} {(1) ^ {n} (x - \π)^ {2 n + 1}} \右| \ \ & = \ lim \ limits_ {n \ \ infty} \左| \ dfrac {(x - \π)^ {2}}{(2 n + 3) (2 n + 2)} \右| \ \ & = \左| (x - \π)^{2}\右| \ lim \ limits_ {n \ \ infty} \左| \ dfrac {1} {(2 n + 3) (2 n + 2)} \ | \ \ & = 0。\{对齐}结束\]
因此，对于\(x \)的所有值，在\(x=\pi\)时，都有\(f(x)=\sin(x)\)的幂级数展开
\ [f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ n \ dfrac {(x - \π)^ {2 n + 1}} {(2 n + 1) !}。\]
泰勒级数确实是把函数写成幂级数的好方法，但有时你不需要整个泰勒级数等于这个函数，你只需要函数的近似值。这就导致了泰勒级数逼近．
设\(f \)是一个在\(x=a\)处可\(n\)-微的函数，则
\[开始\{对齐}P_n (x) & = f (a) + f(一)(x) + f”(a) (x) ^ 2 \ \ & \四+ \点+ f ^ {(n)} (x) ^ n \{对齐}结束\]
是\(f(x)\)在\(x=a\)附近的近似值。
你说一个函数f在一点上是可微的，如果你能计算出第一个n衍生品\ \ (f)。
如果你将上面的定义与泰勒级数的第一个定义进行比较，你会发现这是级数的第一部分。因此你可以说，尽管有一个错误，函数\(f\)近似等于\(P_n\)。换句话说，
\[开始\{对齐}f (x) & = P_n (x) + e (x) \ \ f (x) & \大约P_n (x) \{对齐}结束\]
其中\(e(x)\)是泰勒级数与\(P_n(x)\)之差。这里\(e(x)\)被称为误差函数泰勒级数。
回到泰勒级数的展开\(\sin(x)\)在\(x=\pi\)，你有以下级数:
\[开始\{对齐}T_f (x) & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ n \ dfrac {(x - \π)^ {2 n + 1}} {(2 n + 1) !} \ \ & = - (x - \π)+ \ dfrac {(x - \π)^ 3}{3 !}- \ dfrac {(x - \π)^ 5}{5 !}+ \ dfrac {(x - \π)^ 7}{7 !} + \点\{对齐}结束\]
你只有奇数次幂，因为衍生品偶函数中有一个在x= π时为零。这意味着你可以说每个\(P_n\)，其中\(n\)是奇数的是\(\sin(x)\)的近似值:
\[开始\{对齐}P_1 (x) & = - (x - \π)\ \ P_3 (x) & = - (x - \π)+ \ dfrac {(x - \π)^ 3}{3 !} \ \ P_5 (x) & = - (x - \π)+ \ dfrac {(x - \π)^ 3}{3 !}- \ dfrac {(x - \π)^ 5}{5 !} \ \ P_7 (x) & = - (x - \π)+ \ dfrac {(x - \π)^ 3}{3 !}- \ dfrac {(x - \π)^ 5}{5 !}+ \ dfrac {(x - \π)^ 7}{7 !} \{对齐}结束\]。
让我们比较每个\(P_n\)函数与正弦函数的行为:
正弦函数的泰勒级数近似。
请注意，如果您增加函数的阶数\(P_n(x)\)(换句话说，您增加了\(n\)的值)，近似值将更接近原始函数\(f(x)\)。因此，\(P_n\)的度定义了\(f\)的近似值有多好。另外，请注意，这些近似只适用于接近级数中心的数字，在本例中是\(x=\pi\)。
泰勒级数的主要意义在于找到其它表达函数的方法。在你看到的一些例子中，一旦你把一个函数写成a幂级数，求函数的值就容易多了，因为你只求幂。泰勒级数也可以使它更容易找到其他信息，如衍生品以及函数的积分。让我们来看一个经典的例子。
什么是不定积分\ (f (x) = e ^ {x ^ 2} \) ?
答:
这个函数在数学领域很有名，它是一个没有不定积分的函数的例子可以用初等函数来表示。如果你试着计算这个积分，你会发现所有你知道的积分技巧都不足以解决它!直到现在都是这样。用泰勒级数就可以了!
\[开始\{对齐}e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {f ^ {(n)} (0) x ^ n} {n !{\ \ &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{e^0x^n}{n!{\ \ &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}。结束\{对齐}\]
\[开始\{对齐}e ^ {x ^ 2} & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(x ^ 2) ^ n} {n !{\ \ &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{n!}。结束\{对齐}\]
\[开始\{对齐}e ^ {x ^ 2} & = 1 + x ^ 2 + \ dfrac {x ^ 4} {2} + \ dfrac {x ^ 6} {6} + \ dfrac {x ^ 8}{24} + \点\{对齐}结束\]
\[\开始{对齐}\ int e ^ {x ^ 2} \ \ mathrm {d} int x & = \ \离开(1 + x ^ 2 + \ dfrac {x ^ 4} {2} + \ dfrac {x ^ 6} {6} + \ dfrac {x ^ 8}{24} + \点\)\ \ mathrm {d} x \{对齐}结束\]。
\[\开始{对齐}\ int e ^ {x ^ 2} \ \ mathrm {d} x & = C + x + \ dfrac {x ^ 3} {3} + \ dfrac {x ^ 5}{10} \ \ & \四+ \ dfrac {x ^ 6} {36} + \ dfrac {x ^ 8}{192} + \点\{对齐}结束\]
泰勒级数是一种特殊的幂级数，你可以写出任何函数，它的导数可以是任意阶的，用它的导数和幂函数表示。
用幂级数表示函数。因此，你可以应用幂函数的性质来解决问题。
泰勒级数最常见的应用是寻找非平凡函数的近似值，如三角函数、双曲函数、根函数等。
它指的是多项式的阶数当你使用一个函数的泰勒级数逼近时。
该公式基于函数、中心点和幂函数的导数。要看完整的公式，请看泰勒级数的文章。
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