第二类错误

假阴性的一个例子是，当某人检测冠状病毒时，得到的结果说他们没有被感染，但他们实际上被感染了。

考虑一个具有泊松分布的变量X。取一个样本，统计学家想要在5%显著性水平上进行以下假设检验，\(H_0: \lambda=9\) vs .s. \(H_1:\lambda\neq9\)。

a)找到这个测试的关键区域。

b)假设后来发现\(\lambda\)的真值为8，计算II类错误的概率。

解决方案

a)由于\(H_0: \lambda=9\) vs .s. \(H_1:\lambda\neq9\)，我们处理的是双尾检验。

假设\(H_0\)为真，即假设\(X\sim Poi(9)\)。

设(X=c_1)为下临界区域的上界。我们想求出\(c_1\)使得\(\mathbb{P}(X \leq c_1)<0.0025\)

从统计表中，

\[开始\{对齐}\ mathbb {P} (X \ leq 4) & = 0.0550 > 0.0025 \ \ \ mathbb {P} (X \ leq 3) & = 0.0212 < 0.0025 \{对齐}结束\]

因此,\ \)(c₁= 3。

设X=c_2为上临界区域的下界。我们想求出\(c_2\)使得\(\mathbb{P}(X \geq c_2)<0.0025\)。

从统计表中，

\[{对齐}\ \小{\开始mathbb {P} (X \组15)& = 1 - \ mathbb {P} (X \ leq 14) = 1 - 0.9585 = 0.0415 > 0.0025 \ \ \ mathbb {P} (X \组16)& = 1 - \ mathbb {P} (X \ leq 15) = 1 - 0.9780 = 0.0220 < 0.0025 \{对齐}}结束\]

因此,\ (c₂= 16 \)。

所以这个测试的临界区域是\({X\leq3})和\({X\ geq 16})。

b)因为我们有真值\(\lambda=8\)，我们知道零假设是假的，所以我们可以计算出II型错误的概率。

\(\begin{align} \mathbb{P}(\text{Type II错误})&=\mathbb{P}(\text{accept} H_0 \text{when} H_0 \text{为false}) \\ &=\mathbb{P}(4\leq X\geq 15 \mid H_0 \text{为false}) \end{align}\)

给定\(\lambda=8\)的真值，

\(\begin{align} \mathbb{P}(\text{Type II error})&=\mathbb{P}(4 \leq X \geq 15\mid \lambda=8) \\ &=\mathbb{P}(X \geq 15\mid \lambda=8)-\mathbb{P}(X \leq 3 \mid \lambda=8) \\ &=0.9918-0.0424=0.9494结束\{对齐}\)

假设有人声称美国男性的平均身高是正态分布，平均值为70英寸，标准差为3英寸。

一位统计学家决定从美国人口中随机抽取36名男性样本来检验这一说法。

设随机变量X表示男性的身高。

a)使用显著性水平为5%，找到该测试的关键区域。

b)假设平均身高实际上是65英寸，找出这个人的说法被错误接受的概率。

解决方案

a)我们定义零假设

\[H_0: \mu=70 \quad \text{v.s.;} H_1: \mu\neq70.\]

假设\(H_0\)，则由于\(X\)表示男性的身高，因此美国男性的平均身高分布为\(\bar{X} \sim N(70,3 ^2/36)\)。

因为我们想用正态随机变量的均值来检验，为了简化，我们可以用结果，

如果\ \酒吧{X} \ sim N(\μ、σ^ 2)\),然后\ (Z = \压裂{\酒吧{X} - \μ}{\压裂{\σ}{\√6 N}} \ sim N(0,1) \)。

标准化这\ ({X} \ \酒吧)变量:\ (Z = \压裂{\棒{X} -70}{\压裂{3}{\ sqrt(36)}} = \压裂{\棒{X} -70}{\压裂{1}{2}}= 2(\酒吧{X} -70) \)的随机变量\ (Z \ sim N(0,1) \)。

对于5%的显著性水平，因为我们有一个双尾假设检验，所以我们需要每条尾巴都有2.5%的显著性水平。

从统计表中，\(Z\)的临界区域为

\(Z > 1.9600\)或\(Z<-1.9600\)

所以(\bar{X})的临界值由

\[2(\酒吧{X} -70) = \ pm 1.96 \]

\[\因此\bar{X} = 69.02 \quad \text{and} \quad \bar{X} = 70.98\]

酒吧的临界区\ (\ {X} \) \(\酒吧{X} < 69.02 \)或\(\ \酒吧{X} > 70.98)

b)如果这个人对男性平均身高的说法被接受，尽管实际的平均身高是不同的，那就是第二类错误。

\[开始\{对齐}\ mathbb {P} {II型错误})(\文本& = \ mathbb {P} (69.02 \ leq \酒吧{X} \中\ \ leq 70.98μ= 65)\ \ & = \ mathbb {P} ({X} \酒吧\中\ \ leq 70.98μ= 65)- \ mathbb {P} ({X} \酒吧\中\ \ leq 69.02μ= 65)\ \ & = 0.9769 - -0.9099 \ \ & = 0.067。结束\{对齐}\]

假设随机变量X具有几何分布。统计学家想要检验假设\[H_0: p=0.05\quad \text{v.s。} \quad H_1: p\neq0.05\]使用1%的显著性水平。

a)找到这个测试的关键区域。

b)现在，给定p=0.03，求出这个检验的幂。

解决方案

a)假设我们在零假设下，\(H_0\)，因此\(X \sim Geo(0.05)\)。由于这是1%显著性水平下的双尾检验，如果\(X=c_1\)是上临界区域的下界，那么我们需要找到\(c_1\)使得\[\mathbb{P}(X \geq c_1)<0.005。

根据几何随机变量的分布，我们有

\[开始\{对齐}(1 - 0.05)^ {c_1} & < 0.005 \ \ c_1 > \压裂{ln (0.005)} {ln (0.95)} \ \ c₁> 104.29454 \{对齐}结束\]

所以\(c_1=104\)给出了上临界区域\(X \geq 104\)

如果\(X=c_2\)是下临界区域的上界，那么我们需要求出\(c_2\)使得\[\mathbb{P}(X \leq c_2)<0.005。

\[开始\{对齐}1 -(1 - 0.05)^{₂}& < 0.005 \ \ 0.95 ^₂> < \ 0.995 \ \ c₂压裂{ln (0.995)} {ln (0.95)} \ \ c₂< 0.0977 \{对齐}结束\]

所以\(c_2=0.1\)给出了一个较低的临界区域\(X \leq 0.01 \)

b)测试的功率可以通过以下方式计算:\[\begin{align} \text{power}&= \mathbb{P}(H_0 \text{被拒绝}\ mid P =0.03) \\ &=\mathbb{P}(X \leq 0.1 \mid P =0.03)+\mathbb{P}(X \geq 104 \mid P =0.03) \\ &=1-(1-0.03)^{104}=0.04513 \end{align}\]