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无穷大是一个值得探索的有趣概念，特别是当值接近无穷大时，函数会发生什么，即，无穷大的极限．在探索无穷极限时，你会遇到另一个数学概念:渐近线。N哦，“渐近线”不是另一种手提袋，不像你在学校或大学礼品店里看到的那种。这个听起来很奇怪的术语“渐近线”，至少在数学中，是一条伴随某些函数的直线，具有一些有趣的性质。让我们来看看。
那么，当不同的函数趋于无穷时会发生什么呢?当一个函数趋于无穷时，它更接近于无穷大处的极限．
如果给出一个函数\(y=f(x)\)，这个函数在无穷远处的极限并不仅仅是\(\infty\)本身。这个词'限制’在这里很重要。当求一个函数的极限时不计算无穷远处的函数值，这在数学上是毫无意义的，因为无穷远不是一个数字。
这一切都是关于知道函数\(f(x)\)作为\(x\)的值会发生什么方法无穷。当函数的输入趋于无穷时，有两种可能的结果:一种是极限发散到无穷或者是收敛的达到一定的值。
图1所示。-函数在无穷远处接近某值的极限
从上面的图中，您可以看到，当\(x \rightarrow \infty\)时，函数\(f(x)\)达到一个常数，该常数以直线\(y=l\)为界。我们把它写成:
$$ {x \to \infty} f(x)= l$$
因此，函数的极限是\(l\)。
换句话说，函数收敛于\(l\)，但从未达到它;它只会越来越近。
一些典型的例子是指数函数和对数函数。限制这些值的直线被称为渐近线。渐近线严格定义如下:
一条直线不断地接近一条曲线，并在实际中限制它，但实际上从未遇到它，这条直线被称为曲线一个symptote。
简单地说，渐近线是一条假想的线，当曲线的输入趋于无穷大时，曲线就趋向于这条线。请记住，渐近线和曲线永远不会相交，但在无穷远处是无限接近。
渐近线有三种类型:
垂直渐近线
斜渐近线。
顾名思义，水平渐近线是水平的，即平行于\(x\)轴。任何水平线的斜率都是0\。让我们再来看看递减函数的例子:
图2。-由\(y=f(x)\)定义的曲线的水平渐近线
注意，函数的极限收敛于一个有限值，即\(x \rightarrow \infty\)，这就产生了水平渐近线函数的。
可以看出，渐近线(直线)从不与曲线本身相交，甚至不与曲线本身相交。看起来他们在某个时刻相遇了，但他们只会越来越近。
作为\(x\)的值趋向于(+\infty\)函数趋向于某一值。\ (x \)接近\(-\infty\)，函数的值开始膨胀，它接近\(+\infty\)。
对于由函数\(y=f(x)\)描述的曲线，如果函数收敛于常数值，\(b\)，则水平渐近线的方程由\(y=b\)给出。换句话说，\(y=f(x) \rightarrow b\)等于\(x \rightarrow +\infty\)。
符号“\(\rightarrow\)”表示“方法，作为一个短语，它可以读作“as \(x\)”方法\ (+ \ infty \)”。
正确的表示方法是用极限符号。
\[\lim_{x \to +\infty} f(x)=b \]
这个方程的意思是函数\(f(x)\)当\(x\)趋于无穷时的极限是\(b\)。
现在，从这个表述来看，\(b\)可能是\(f(x)\)的渐近线，但也可能不是。那么，如何找到一条水平渐近线呢?
没有找到水平渐近线的通用算法或方法，但有一些规则可以用来确定有理函数的水平渐近线。如果有理函数的分子和分母都是多项式，那么你可以按照以下步骤找到渐近线:
记住，多项式的次被定义为变量的最高幂。
如果分子上多项式的次是更大的比分母上多项式的次数要高，那么不存在水平渐近线对于这条曲线。
如果分子上多项式的次是较低的大于分母多项式的次，则水平方程始终为\(y=0\)。
如果分子的度数等于分母的度数，则除以分子的前导系数(数乘以最高度数的变量)，再除以分母的前导系数。这些领先系数的商就是水平渐近线的y值。
回想一下有理函数定义为可以表示为两个组成函数之比的函数，即\(R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\)。
在函数\(\displaystyle y=\frac{3x-2}{4x}\)中找到水平渐近线。
解决方案:
可以观察到，多项式在分子和分母上的次是相同的。
因此，要找到水平渐近线，只需用分子的领先系数除以分母的领先系数。
\[y = \frac{3}{4}\]
垂直渐近线是平行于y轴的渐近线。在这种情况下，对于有限值\(x\)，函数未定义。让我们看看下面函数中的另一个例子。而不是自变量，因变量得到的值是\(+\infty\)。对于有限值\(x\)，它也可以趋向于\(-\infty\)．
图3。-由\(y=f(x)\)定义的曲线的垂直渐近线
在这里，曲线正在接近\(x=a\)，但从未触及它。因此，垂线\(x=a\)是一条垂直渐近线。同样，如果值趋向于某物，但从未真正达到它，它可以在数学上表示为发散的极限:
$ $ \ lim_ {x \} f (x) = +文本{或}\ infty \ \ \ \ \ \ lim_ {x \} \ infty f (x) = - $ $
其中垂直渐近线由\(x=a\)给出。
你已经看到了垂直渐近线在数学上是如何定义的，函数需要接近某个值\(x=a\)，以便\(y\)接近\(+\infty\)或\(-\infty\)。你需要有这样一个值\(a\)限制变成undefined \((+\infty \ \text{或}\ -\infty)\)。
你在学习数学的时候见过这样的例子吗?你有!除以0在数学中是一个大禁忌!
因此，对于每一个有理函数，你必须找到一个值\(x\)这样，分母将变成\(0\)。例如,
\[y = \frac{5x}{x-3}.\]
当\(x=3\)时未定义。
对于\(x\)的任何实值，有些函数永远不等于\(0\)，例如，一类指数函数永远不会得到值\(0\)。这意味着这些函数没有任何垂直渐近线。让我们看一个例子，看看上面的过程在实践中是什么样子的:
求函数\(y= \displaystyle \frac{x+6}{2x+4}\)的垂线。
解决方案:
如前所述，将分母等同于\(0\)并求解\(x\):
$ $ \开始{对齐}2 x + 4 & x = 0 \ \ & = 2 \{对齐}$ $
所以当(x \rightarrow -2\)分母也趋向于(0\)由于函数是在所有实数上定义的，我们不需要分别计算\(\text{LHL}\)(左手极限)和\(RHL\)(右手极限)。计算极限为\(x \rightarrow -2\)，得到:
$ $ \ lim_ x \{2} \压裂{x + 6} {2 x + 4} = \压裂{2 + 6}{0}= + \ infty $ $
因此，函数\(y=\frac{x+6}{2x4}\)的垂直渐近线是\(x=-2\)。
渐近线不一定总是水平或垂直的，它们可以是任何方向。与x轴成锐角的渐近线称为s兰特渐近线．
图4。-由\(y=f(x)\)定义的曲线的倾斜渐近线
这个概念与水平渐近线非常相似，因为我们必须考虑函数在无穷远处的极限。
如果考虑函数的极限为\(x \rightarrow \infty\)，则曲线收敛到可以用直线描述的某一值，即偏渐近线到曲线上。
设函数用\(y=f(x)\)定义一条曲线，则该曲线的斜渐近线由\(y=mx+b\)给出，当且仅当满足以下极限:
$ $ \ lim_ {x \ + \ infty} \压裂{f (x)} {x} = m \ \文字{和}\ \ lim_ {x \ + \ infty} | f (x) mx | = $ $
如果上述极限不是有限的，那么曲线就不存在倾斜渐近线。
如果比较以上三种渐近线，可以观察到垂直和水平渐近线只是具体的案例吗偏渐近线．
证明由函数\(f(x)= \displaystyle \frac{x-2}{2x+1}\)定义的曲线没有倾斜渐近线。
解决方案:
计算极限为\(x \rightarrow +\infty\)，我们得到以下极限，
$$ lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=0$$
这就产生了\(m=0\)，因此渐近线呈现为\(y=b\)的形式，这是一条水平渐近线，而不是一条倾斜渐近线。
（1)
求由函数\[y=\displaystyle \frac{2x}{-x^2+x+3}定义的曲线的水平渐近线\]
解决方案:
对于分子，观察\(x\)的最高次是\(1\)，因此分子的次是\(1\)。
现在，对于分母，可以看到\(x\)的最高次是\(2\)，所以阶是\(2\)。
由于分子的次小于分母的次，因此这条曲线的水平渐近线为:
$ $ $ $ y = 0
(2)
找到由函数\[y= \displaystyle \frac{7x^2-23}{3x+5}定义的曲线的水平渐近线\]
解决方案:
观察到分子中\(x\)的最高次是\(2\)，因此度是\(2\)。
对于分母，\(x\)的最高次是\(1\)，因此阶是\(1\)。
由于\(2>1\)，分子的次大于分母的次。
因此，这条曲线不存在水平渐近线。
(3)
求函数所定义曲线的垂直渐近线
\[f(x) = \frac{5x}{x ^ 2-5x + 6} \]。
解决方案:
求垂直渐近线是一个简单的情况，即使函数的分母等于\(0\)并求解\(x\)。
\[开始\{对齐}0 & = x ^ 2 - 5 x + 6 \ \ 0 & = (x - 2) (3) \ \ 0 & = x - 2 \ \ x = 2 \ \ 0 & = - 3 \ \ x = 3 \{对齐}结束\]
因此垂直渐近线是
\[x=2 \text{and} x=3.\]
如果一个函数的极限达到一个有限值(x \rightarrow \infty\)，则该函数的极限收敛。
渐近线是曲线与之非常接近的曲线，当曲线延伸到无穷远时，但从来没有真正到达。
渐近线有三种类型:水平渐近线，垂直渐近线,偏渐近线．
水平渐近线平行于x轴，斜率为\(0\)，当\(x \rightarrow -\infty\)或\(x \rightarrow -\infty\)时，reach是水平渐近线的方程。
垂直渐近线平行于y轴，斜率没有定义。如果满足以下极限，则\(x=a\)是曲线的垂直渐近线:\(\lim_{x \to a} f(x) = \infty\ \text{或}\ -\infty\)。
偏渐近线是与x轴成锐角的渐近线。曲线有一条斜渐近线，形式为\(y=mx+b\)。当分子的阶数大于分母的阶数时，当且仅当以下极限是有限的:\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=m\)和\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} |f(x)-mx|=b\)。
通过观察随着x的增长它们接近的数。
函数的水平渐近线定义了函数增长到无穷时的极限值。
是的，一些由分数组成的复函数的极限是无穷。
当存在渐近线时，函数的极限等于渐近线的值。例如，当f(x)趋于无穷时，有一条水平渐近线等于y=2，那么函数在无穷处的极限是y=2。
为了找到无穷大的极限，你需要找到当x增加时函数更接近的值。
一个简单的例子是函数f(x)=1/x。这里你需要增加x的值。
x = 1, y = 1
x = 10, y = 0.1
x = 100, y = 0.01
x = 1000, y = 0.001
可以看到，随着x的增长，y趋于0。本题中x→∞的极限是y=0。
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