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毕达哥拉斯恒等式方程基于毕达哥拉斯定理\(a²+ b²= c²\)．你可以用这个定理求直角三角形的边长。有三个毕达哥拉斯恒等式。
直角三角形是毕达哥拉斯定理的基础
第一个勾股定理恒等式是\(\sin^2 \ + \cos^2 \ = 1\)。这可以用毕达哥拉斯定理和单位圆．
表示第一个勾股定理恒等式的推导的单位圆
我们知道\(a²+ b²= c²\)所以\(\sin^2 \ + \cos^2 \ = 1\)．
第二个毕达哥拉斯恒等式是\(\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta)。这是通过取第一个毕达哥拉斯恒等式并将其除以\(\cos^2\theta\)得到的:
\[\压裂{\罪^ 2 \θ}{\ cos ^ 2 \θ}+ \压裂{\ cos ^ 2 \θ}{\ cos ^ 2 \θ}= \压裂{1}{\ cos ^ 2 \θ}。\]
记住,
\[\压裂{\罪\θ}{\ cosθ\}= \ tan \θ\ mbox{和}\压裂{1}{\ cosθ\}= \秒\θ。\]
化简这个表达式\(\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \)
第三个毕达哥拉斯恒等式是\(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta)。这是通过取第一个毕达哥拉斯恒等式并将其除以\(\sin^2\theta\)得到的:
\[\压裂{\罪^ 2 \θ}{\罪^ 2 \θ}+ \压裂{\ cos ^ 2 \θ}{\罪^ 2 \θ}= \压裂{1}{\罪^ 2 \θ}。\]
记住,
\[\压裂{\ cosθ\}{\罪\θ}=θ\床\ \ mbox{和}\压裂{1}{\罪\θ}= \ csc \θ。\]
现在我们可以化简这个表达式\(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)。
现在我们来看三个例子，分别使用毕达哥拉斯恒等式来回答问题。
化简\(\ sinx \cos^2 x = \ sinx -1\)求\(x\)的值:\(0 < x < 2\pi\)。
为此，我们需要使用第一个毕达哥拉斯恒等式:\(\sin^2 \ + \cos^2 \ = 1\)然后重新排列:
\[\cos^2 x = 1 - \sin^2 x .\]
现在我们可以代入\(1 - \sin^2 x \)转化为表达式:
\[\ sinx \cos^2 x = \ sinx (1 - \sin^2 x).\]
化简它，使它等于右边，我们得到
\[\sin x - \sin^3 x = \sin x -1 \]
或
\[-\sin^3 x = -1。\]
那么\(\sin x = 1 \)和\(x = \frac{\pi}{2}\)。
如果\(\cos x = 0.78\)，那么\(\ tanx \)的值是多少?
为此，我们需要利用这个事实\(\tan^2x + 1 = \sec^2x \)．我们也知道
\[\sec x = \frac{1}{\cos x}\]
因此
\[\sec x = \frac{1}{0.78} = 1.282 .\]
我们现在可以把这个值代入方程，得到\(\tan x\):
\[\tan^2 x + 1 = (1.82)^2 \]
所以
\[\tan^2 x = (1.82)^2 -1 \]
和\(\tan x = 0.802\)。
解\之间(x \) \(0 ^ \保监会\)和\(180年^ \保监会\):
\[\cot^2 (2x)+ \csc (2x) - 1 = 0.\]
在这种情况下，我们需要使用第三个毕达哥拉斯恒等式，\(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)。
如果我们重新排列这个恒等式，我们得到\(\cot^2\theta = \csc^2\theta - 1\)。在这种情况下\(\theta = 2x\)我们可以把这个重新排列的恒等式代入方程
左(\ \ [\ csc ^ 2 (2 x) - 1 \右)+ \ csc 2 x - 1 = 0 \]
所以
\[\csc^2 2x + \csc 2x - 2 = 0.\]
我们可以把它看成一个可以因式分解的二次方程
\[(\csc 2x + 2)(\csc 2x - 1) = 0.\]
我们现在可以解出这个，得到\(\csc 2x = -2\)或者\(\csc 2x = 1\)，所以\ \罪2 x = - \压裂{1}{2}\)或\ \ sin (x) = 1 \。因此\ (2 x = 210 ^ \保监会\),\(330 ^ \保监会\)\(90 ^ \保监会\)。和\ (x = 45 ^ \保监会\)\(105 ^ \保监会\)\(165 ^ \保监会\)。
第一个毕达哥拉斯恒等式是\(\sin²\ + \cos²\ = 1\)
第二个毕达哥拉斯恒等式是\(\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \)
第三个毕达哥拉斯恒等式是\(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)。
第一个恒等式来自勾股定理\(a²+ b²= c²\)和单位圆．
第二个和第三个身份是从第一个身份衍生出来的。
毕达哥拉斯恒等式是由毕达哥拉斯定理和单位圆推导出来的。
它们是基于毕达哥拉斯定理的表达式，可用于求解或简化三角方程。
罪^ 2 ()+ cos ^ 2() = 1,谭^ 2()+ 1 =秒^ 2()和1 +床csc ^ 2 ^ 2 () = ()
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