证明与数学归纳法

证明是数学中一个非常重要的元素。作为数学家，我们不能相信一个事实，除非它已经被我们所知道的其他事实充分证明。

我们将简要介绍几种关键类型的证明。这些都是:

反例证明
反证法
穷尽证明

然后我们将转向更难的证明元素，一种叫做数学归纳法的特殊证明。

这些证明是相对直接和有条不紊的，然而，我们将看看一些技巧，可以用来帮助加快这个过程。

什么是反例证明?

反例证明可能是我们将要学习的最基本的证明之一。它基本上就是它所陈述的内容，包括通过找到反例来证明一些事情。

具体步骤如下。

一步	为什么?
清楚地陈述你的猜想和你需要证明的东西。	从这个证明可以证明我们的目的是什么。
找到一个反例，我们可以通过测试例子来做到这一点，最终我们将能够找到一个好的例子。	这将证明我们的猜想是错误的。

猜想:我们试图证明或反驳的陈述。

让我们看一个简短的例子来帮助我们弄清楚发生了什么。

用反例证明所有的值是奇怪的，因为。

解决方案:

如果我们让，

4不能写成,。

所以4不是奇数。

我们找到了一个反例来反驳这个猜想。

什么是穷尽证明?

穷竭证明包括测试所有相关的例子，并检查它们都满足猜想。这在有限的情况下使用，因此，测试所有相关的示例不会花费很长时间。让我们看看我们是如何通过一系列步骤来做到这一点的:

一步	为什么?
陈述你的猜想。	为我们的证明找到目标。
找到所有必要的示例进行测试。	让我们知道我们需要测试什么情况。
测试所有相关案例。	检查我们所有的“筋疲力尽”的情况下工作。
对你的证明做一个陈述。	很好地总结了证明。

让我们看一个简短的例子，看看它是如何工作的。

穷竭证明连续小于10的正偶数和为偶数。

解决方案:

我们想知道小于10的两个连续的正偶数的和是偶数。

因此我们要用的数字是2,4,6和8。

6、10和14都是偶数，因为它们都是2的倍数:

因此这些和都是偶数。

所以我们的猜想被证明了。

这里有一些有用的符号，我们可以在证明过程中和证明完成后使用。这可以让我们的证明看起来更漂亮。这些都是:

象征	解释
Q.E.D	Q.E.D是quod erat demonstrandum的缩写。这是拉丁文，意思是已经被证明了。
	这和Q.E.D.的意思完全一样
	这意味着。所以当一个语句直接暗示另一个语句时，你可以用这个。
	当两个语句相互暗示时，使用这个箭头。
∴	这三个点表示，因此，我们使用一个事实陈述作为一个新的事实陈述的基础，例如a=2∴+ 2 = 4。

什么是反证法?

反证法是我们试图证明与要求我们的东西相反的东西的过程。然后意识到我们列出的证明有一个矛盾。

这并没有一个真正的步骤列表。我们一开始只是试图证明相反的情况然后用代数运算来证明这是错误的。让我们看一个关键的例子，它应该足够有意义。

证明是非理性的。

解决方案:

首先，让我们来分析一下我们被问到的问题。我们想证明这一点不能写成分数形式。

我们来证明它是一个分数然后找出矛盾点。

让,在那里是分数的最简形式。

然后两边平方

一定是偶数，这是因为是偶数，偶数的平方根是偶数。

让，

这意味着是偶数。因此这意味着是偶数。

如果两个而且是偶数吗，不是最简单的形式。

这是我们最初假设的矛盾是最简单的形式。

因此既不理性，又不理性。

在这个例子中，我们所做的就是用代数运算和基本的数学事实来移动一些项来证明一些东西是无理数。因此，每当我们遇到这样的问题，我们所做的就是用代数和数字的事实来证明我们有矛盾。

在拉丁语中，这被称为荒谬还原，它本质上翻译为荒谬的证明，所以假设某些事情是错误的，并找到矛盾。

什么是数学归纳法?

数学归纳法是用以前的值来寻找新值的过程。所以当我们试图证明某件事对所有值都成立时，我们就用它。下面是回答一般性问题的步骤:

证明它"猜想”对所有值都成立吗n≥m。

一步	为什么?
1.证明对于我们的最小值是正确的(在本例中n=m)。	表明我们的下界值为真。
2.假设n=k的值是成立的。	我们假设这个猜想对于我们范围内的某些值是正确的，以供将来参考。
3.利用n=k为真，证明n=k+1为真。	这表明当n=k时，n=k+1是成立的。根据归纳法，这意味着值为真。
4.在结构中做一个结论:它已被证明n = m,对一些人来说n = k, n = k + 1是真的。所以这个猜想对所有值都成立n≥m。	这为我们的证明提供了一个总结，并允许我们看到我们的目标被证明。