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一个递归关系For序列是数列中下一项作为前一项的函数的公式。你可能听说过的一个著名的例子是斐波那契数列的递归关系，其中每一项都是前两项的和。下面是斐波那契数列的前几项:\(0,1,1,2,3,5,8，\dots\)。
递归关系给出了一个公式，用于表示控制给定数字序列的共同规则。它们是递归的，这意味着序列中下一项的递归关系公式是它前一项的函数。它们使我们能够简化序列，从而更容易分析其特征和模式。
一个rela复发优化选择是数列中下一项作为其前一项的函数的公式。
递归关系的一个例子是\(u_{n+1}=4u_n+5\)。其中\(u_n\)是序列中的\(n^{第n}\)项，递归关系给出了计算下一项\(u_{n+1}\)的公式。
递归关系公式可以有许多不同的形式。常用的符号用\(u_{n}\)表示序列中的\(n^{th}\)项，用\(u_{n+1}\)表示序列中的\(n^{n}\)项接下来(或下一个)序列中的项。递归关系的公式取决于递归关系的阶数，也称为度。
阶\(k\)递归关系是数列\(n^{th}+1\)项作为数列前\(k\)项的函数的公式。另一种说法是，k的阶数是递归关系的最高下标和最低下标之间的差。
的递归关系订单/学位\ (k \)是一个方程，其形式为:
$ $ u_ {n} =现代{1}u_ {n} +现代{2}u_{2} +现代{3}u_ {n} +……+a_{k}u_{n-k} + f(n).$$
其中\(a_1，…，a_k\)是常数，\(f(n)\)是关于\(n\)的函数。
递归关系是吸如果\(f(n)\)是一个多项式，或形式为\(a\ * b^{n}\)。
如果\(f(n)=0\)则递归关系为同质．
递归关系\(u_{n+1}=u_{n}+5n\)的阶数是多少?它是齐次还是非齐次?
答:
递归关系的公式\ (u_ {n} =现代{1}u_ {n} +现代{2}u_{2} +现代{3}u_ {n} +……+a_{k}u_{n-k} + f(n)\)。
将其与\(u_{n+1}=u_{n}+5n\)比较得到:
因此，这是一个非齐次的一阶递归关系。
递归关系\(u_{n+1}=2u_{n}+3u_{n-1}\)的阶是多少?它是齐次还是非齐次?
答:
递归关系的公式\ (u_ {n} =现代{1}u_ {n} +现代{2}u_{2} +现代{3}u_ {n} +……+a_{k}u_{n-k} + f(n)\)。
比较这个和\ (u_ {n + 1} = 2 u_ {n} + 3 u_ {n} \)给出:
因此，这是一个齐次二阶递归关系。
当给定一个递归关系时，要计算出序列中的项，你需要初始条件，有时称为边界条件。你将需要与递归关系的阶数相同数量的初始条件来找到序列的项，即对于一个\(k^{th}\)阶递归关系，你将需要\(k\)个初始条件来找到序列的项。这些初始条件通常以序列中的第一个\(k\)项给出。
斐波那契数列的公式是一个二阶递归关系:
$ $ f f {n} {n} = f {2} $ $ +
假设我们有两个初始条件\(F_0=0\)和\(F_1=1\)。
现在我们可以算出这个数列的项了。
下面是用公式写出的前几项:
\[开始\{对齐}F_0& = 0 \ \ f = 1 \ \₂= f + F_0 = 1 + 0 = 1 \ \ F_3& = f₂f + = 1 + 1 = 2 \ \ F_4& = F_3 +₂= 2 + 1 = 3 \ \ F_5& = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5 \ \ F_6& = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8。结束\{对齐}\]
让我们看一些序列的例子，找出它们的递归关系公式。
我们能找到下列数列的递归关系吗?
$$ 3,9,21,45,93…$ $
解决方案:
序列常用的表示法如下:
\[开始\{对齐}u_1& = 3 \ \ u_2& = 9 \ \ u_3& = 21 \ \ u_4& = 45 \ \ u_5& = 93。结束\{对齐}\]
例如\ (u_ {n} \) \ (n ^ {th} \)的序列。
请注意，一些教科书和问题以\(n=0\)开头，所以在尝试提问之前一定要检查一下。
现在，我们可以找到一个公式来计算数列中特定的一项。首先看看连续术语之间的区别:
\[开始\{对齐}u_2-u_1 & = 9 - 3 = 6 \ \ u_3-u_2& = 21-9 = 12 \ \ u_4-u_3&除了主场迎战= = 24 \ \ u_5-u_4& = 93 - 45 = 48。结束\{对齐}\]
这个序列每次增长2倍。记住这一点，再看看原始序列:
\[开始\{对齐}u_1& = 3 \ \ u_2& = 9 = 2 \ cdot3 + 3 \ \ u_3& = 21 = 2 \ cdot9 + 3 \ \ u_4& = 45 = 2 \ cdot21 + 3 \ \ u_5& = 93 = 2 \ cdot45 + 3。结束\{对齐}\]
因此，当初始值为\(u_{1}=3\)时，该序列的递归关系为\(u_{n+1}=2u_{n}+3\)。
假设你有一个序列\(u_1,u_2,u_3，…\)，由递归关系\(u_{n+1}=u_n+2n+1\)定义，初始值\(u_1=1\)。
证明\(u_4=16\)，从而找到一个用\(n\)表示\(u_n\)的表达式。
解决方案:
解决这个问题最好的方法是写出这个数列的前四项。
\[开始\{对齐}u_1& = 1 \ \ \ cdot1 u_2& = u_1 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \ \ \ cdot2 u_3& = u_2 + 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 \ \ \ cdot3 u_4& = u_3 + 2 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16。结束\{对齐}\]
因此\ (u_4 = 16 \)。
从这些值中，我们还可以看出这是一个平方数序列。因此，\(u_n\)在terms \(n\)中的表达式是\(u_n=n^{2}\)。
封闭,或position-to-term，是我们用来用\(n\)来描述\(n^{th}\)项的公式的术语。在教科书中，可以使用封闭形式，也可以使用位置到项，任何一种方式都被认为是正确的。即使当\(n\)很大时，如果我们想找到一个特定的项，这些封闭形式的方程也是有用的。
的封闭是数列中\(n^{th}\)项以\(n\)表示的公式。
序列封闭形式的一个例子是\(u_{n}=4n-12\)。
假设你想要找到这个序列的\(1000^{th}\)项，那么你可以简单地将\(n=1000\)代入方程，得到:
$ $ u_{1000} = 4 = 3988。-12(1000)美元
斐波那契数列的封闭形式是:
$ $ fn = \压裂{1}{\ sqrt{5}} \离开(\压裂{1 + \ sqrt{5}}{2} \右)^ {n} - \压裂{1}{\ sqrt{5}} \离开(\压裂{1 - \ sqrt{5}}{2} \右)^ $ $ {n}
找到序列的递归关系和封闭形式:\(27,9,3,1，\ frac{1}{3}，\dots\)。假设初始值表示为\(u_0=27\)。
解决方案:
首先，我们可以看到序列中的项每次都减少3倍。你可以用每一项除以前一项，每次得到3:
\[开始\{对齐}\压裂{u_0} {u_1} & = \压裂{27}{9}= 3 \ \ \压裂{u_1} {u_2} & = \压裂{9}{3}= 3 \ \ \压裂{u_2} {u_3} & = \压裂{3}{1}= 3 \ \ \压裂{u_3} {u_4} & = \压裂{1}{\压裂{1}{3}}= 3。结束\{对齐}\]
假设这个因子在整个序列中都是常数，则该序列的递归关系为:
$ $ u_ {n + 1} = 3 u_n $ $
初始值\(u_{0}=27\)。
对于序列的封闭形式:
$ $ u_n = 27 \ cdot \离开(\压裂{1}{3}\右)^ $ $ {n}
这个数列也被称为公比为3的几何数列。
用于证明递归关系的闭形式的技术是归纳法证明．你可能以前遇到过这个技巧，但证明的结构如下:
设\(P(n)\)是一个数学命题，使得\(n\)是一个自然数。如果满足以下条件，则\(P(n)\)对于\(n)的值为真:
步骤1。\(n=1\)为真，即\(P(1)\)成立。
步骤2。鉴于/假设\ (n = k \)是真的,然后\ (n = k + 1 \),即如果\ (P (k) \)然后\ (P (k + 1) \)。
第三步:结论:由于该语句对\(n=1\)成立，并且假设对\(n=k\)成立，则该语句对\(n=k+1\)成立。因此，根据数学归纳法原理，这个命题对所有自然数\(n=1,2,3，…\)都成立。
有关使用归纳法证明的更多信息，请参见归纳法证明"．
通过归纳法证明对于所有自然数n， \(u_{n}=5^{n-1}+1\)是由\(u_{n+1}=5u_{n}-4\)所定义的具有初值\(u_{1}=2\)的数列的闭形式。
解决方案:
对于这个特殊的例子\(P(n)=u_n=5^{n-1}+1\)。
让\(n=1\)，
$ $ u_ {1} = 5 ^ {0} + 1 = 1, $ $
因此，对于\(n=1\)，该语句成立。
第二步:假设这个语句对于\(n=k\)是成立的，即假设\(u_{k}=5^{k-1}+1\)。
显示\ (u_ {n} = 5 ^ {n} + 1 \)适用于\ (n = k + 1 \):
\[开始\{对齐}u_ {k + 1} & = 5 u_ {k} 4 \ \ & = 5 (5 ^ {k - 1} + 1) 4 \ \ & = 5 ^ {1 + k - 1} + 5 - 4 \ \ & = 5 ^ {k} + 1 \{对齐}结束\]。
因此，这个命题对\(n=k+1\)成立。
第三步:结论:由于该语句对\(n=1\)成立，并且假设对\(n=k\)成立，则该语句对\(n=k+1\)成立。因此，根据数学归纳法原理，这个命题对所有自然数\(n=1,2,3，…\)都成立。
求解递归关系涉及到找到递归关系的封闭形式，给定一定的初值或边界条件。求解递归关系有不同的方法。有时它们很简单，可以通过检查来解决(正如我们上面所看到的)，但对于更复杂的一阶和二阶递归关系，最好的方法是迭代或特征根技术。如果您想深入了解这些技术，请参阅以下关于求解一阶递归关系和求解二阶递归关系的文章。
一个数列的递归关系是数列中下一项作为前一项的函数的公式。
根据递归关系的阶数，k阶递归关系的公式是(n+1)的公式th这个数列的前k项的函数。
求解递归关系的方法有很多。对于简单的递归关系，我们可以使用检验，对于更复杂的递归关系，我们使用迭代或特征根技术。
我们使用递归关系来简化数字序列，使用一个通用的规则来管理它们。
斐波那契数列具有递归关系
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