隐微分切线

我们来隐式微分这个关系

\[y^5 + x^5 = \frac{\根号{\pi}}{17}， \]

假设(y\)是(x\)的函数。

解决方案:

• 首先，对方程两边对\(x\)求导:

\[\压裂{d} {dx} (y ^ 5 + x ^ 5) = \压裂{d} {dx} \离开(\压裂{\ sqrt{\π}}{17}\右)。\]

方程右边的结果为零，因为常数的导数总是零。为了区分左边，我们假设\(y\)是\(x\)的函数。那么，让我们为某个函数\(f\)写\(y = f(x) \):

\[\压裂{d} {dx} (y ^ 5 + x ^ 5) = \压裂{d} {dx} \离开((f (x)) ^ 5 + x ^ 5 \右)。\]

• 因为微分是线性的，你可以写成:

\[\压裂{d} {dx} \离开((f (x)) ^ 5 + x ^ 5 \右)= \压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 5 + \压裂{d} {dx} x ^ 5。\]

• 为了区分第二项，使用幂次法则:

\[\压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 5 + \压裂{d} {dx} x ^ 5 = \压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 5 + 5 x ^ 4。\]

• 要求导第一项，你需要使用链式法则，它会给你:

\[\压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 5 + 5 x ^ 4 = 5 (f (x)) ^ 4 f (x) + 5 x ^ 4。\]

• 因此，将\(f(x)\)替换为\(y\)，然后将方程的左右两边相互相等，就得到:

\[\压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 5 + 5 x ^ 4 = 5 (f (x)) ^ 4 f (x) + 5 x ^ 4 = 0, \]

或者换句话说

\[5y^4 \frac{dy}{dx} + 5x^4 = 0.\]

• 最后，你可以求解\(\frac{dy}{dx}\)得到

\[\压裂{dy} {dx} = - \压裂{5 x ^ 4} {5 y ^ 4} = - \压裂{x ^ 4} {y ^ 4}。\]

我们隐式微分摆线

\[x = \cos^{-1}(1-y)-\√{y(2-y)}\]

求出这一点处切线的斜率

\[= \离开(\压裂{\π}{3}- \压裂{\ sqrt{3}}{2}, \压裂{1}{2}\)\]

解决方案:

• 首先，方程两边对\(x\)求导:

\[\压裂{d} {dx} x = \压裂{d} {dx} \离开(\因为^ {1}(1 y) - \ sqrt {y (2 y)} \右)。\]

• 你可以用幂次法则求左边的导数

\[\frac{d}{dx} x = 1.\]

• 区分右边,先写\ (y = f (x) \)对于一些函数\ (f \): \[\压裂{d} {dx} \离开(\因为^ {1}(1 y) - \ sqrt {y (2 y)} \) \] \[= \压裂{d} {dx} \离开(\因为^{1}(行进(x)) - \√6 {f (x) (2 - f (x))} \右)。\]
• 因为微分是线性的，你可以写成:

\[\压裂{d} {dx} \离开(\因为^{1}(行进(x)) - \√6 {f (x) (2 - f (x))} \) \] \[= \压裂{d} {dx} \离开(\因为^{1}(行进(x)) \右)——左\压裂{d} {dx} \ \√{f (x) (2 - f (x))} \右)。\]

• 你知道的

\[\cos^{-1}(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}， \]

所以应用链式法则，第一项变成:

\[开始\{对齐}\压裂{d} {dx} \离开(\因为^{1}(行进(x)) \右)& = - \压裂{1}{\√6{1 -(行进(x)) ^ 2}} (f (x) )) \\ & = \ 压裂{f (x)}{\√6{1 -(行进(x)) ^ 2}}。结束\{对齐}\]

• 应用链式法则，你可以把第二项写成:

\[\压裂{d} {dx}左\ \√{f (x) (2 - f (x))} \ )\] \[ = \ 左(\压裂{1}{2}((f (x) (2 - f (x))) ^{- \压裂{1}{2}}\)\离开(\压裂{d} {dx} f (x) (2 - f (x)) \右)。\]

• 利用微分是线性的，你可以写:

\[开始\{对齐}\压裂{d} {dx} f (x) (2 - f (x)) & = \压裂{d} {dx} \离开(2 f (x) - (f (x)) ^ 2 \) \ \ & = 2 \压裂{d} {dx} f (x) - \压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 2。结束\{对齐}\]

• 使用链式法则，这个表达式变成:

\[2 \压裂{d} {dx} f (x) - \压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 2 = 2 f (x)的2 f (x) f (x) \]

• 这意味着第二项实际上是

\[开始\{对齐}\压裂{d} {dx} \左\√{f (x) (2 - f (x))} \右)& = \离开(\压裂{1}{2}(f (x) (2 - f (x))) ^{- \压裂{1}{2}}\)\离开(\压裂{d} {dx} f (x) (2 - f (x)) \) \ \ & = \离开(\压裂{1}{2}(f (x) (2 - f (x))) ^{- \压裂{1}{2}}\)\离开(2 f (x)的2 f (x) f (x) \) \ \ & = \压裂{f (x)(行进(x))}{\√6 {f (x) (2 - f (x))}}。结束\{对齐}\]

• 将第一项和第二项的表达式结合起来，并以\(y\)的形式重写，方程的右侧为:

\[\压裂{f (x)}{\√6{1 -(行进(x)) ^ 2}} - \压裂{f (x)(行进(x))}{\√6 {f (x) (2 - f (x))}} = \压裂{y '}{\√6 {1 - 1 y ^ 2}} - \压裂{y ' (1 y)} {\ sqrt {y (2 y)}}。\]

• 记住你已经知道了

\[\压裂{d} {dx} \离开(\因为^ {1}(1 y) - \ sqrt {y (2 y)} \右)= 1。\]

• 把它和第一项和第二项结合起来，

\[\压裂{y '}{\√6 {1 - 1 y ^ 2}} - \压裂{y ' (1 y)} {\ sqrt {y (2 y)}} = 1。\]

这时，您通常会求解\(y'\)。然而，对于一般点\((x,y) \)，您实际上不需要这样做，因为您实际上只关心点\(a \)上的\(y'\)。

• 代入\(A\)会得到

\[\压裂{y '}{\√6{1 - \离开(1 - \压裂{1}{2}\右)^ 2}}- \压裂{y ' \离开(1 - \压裂{1}{2}\右)}{\√6{\压裂{1}{2}\离开(2 - \压裂{1}{2}\右)}}= 1。\]

• 现在求y'\就容易多了。先化简一下，

\[开始\{对齐}\压裂{y '}{\√6{1 - \离开(1 - \压裂{1}{2}\右)^ 2}}- \压裂{y ' \离开(1 - \压裂{1}{2}\右)}{\√6{\压裂{1}{2}\离开(2 - \压裂{1}{2}\右)}}& = \压裂{y '}{\√6{\压裂{3}{4}}}- \压裂{\压裂{1}{2}y '} {\ sqrt{\压裂{3}{4 }}} \\ &= \ 压裂{2}{\ sqrt{3}} \离开(y”——\压裂{1}{2}y ' \) \ \ & = \压裂{y '} {\ sqrt{3}}。结束\{对齐}\]

所以,

\[\frac{y'}{\sqrt{3}} = 1，\]

或

\[y' = \sqrt{3}，\]

在点\(A\)。换句话说，切线在\(A\)处的斜率是\(m = \√{3}\)。

我们来求曲线的切线方程

[y^2 (3x^2 -y^2)^2 = (x^2 + y^2)^4\]

在

\[A = \left(\frac{1}{2}， \frac{1}{2} \right).\]

有六个花瓣的玫瑰曲线

首先，方程两边求导:

\[\压裂{d} {dx} \离开(y ^ 2 (3 x ^ 2 - y ^ 2) ^ 2 \右)= \压裂{d} {dx} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 4。\]

由于\(y\)是\(x\)的函数，你可以为某个函数\(f\)写\(y=f(x)\):

\[\压裂{d} {dx} \离开((f (x)) ^ 2 (3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2) ^ 2 \右)= \压裂{d} {dx} (x ^ 2 + (f (x)) ^ 2) ^ 4。\]

方程的右边可以用链式法则求导得到:

\[\开始{对齐}\压裂{d} {dx} (x ^ 2 + (f (x)) ^ 2) ^ 4 & = 4 (x ^ 2 + (f (x)) ^ 2) ^ 3左(\ \压裂{d} {dx} \离开((x ^ 2 + (f (x)) ^ 2 \) \) \ \ & = 4 (x ^ 2 + (f (x)) ^ 2) ^ 3 \离开(2 x + 2 f (x) f (x) \右)。结束\{对齐}\]

对方程左边求导，使用乘积法则和链式法则得到:

\[开始\{对齐}\压裂{d} {dx} \离开((f (x)) ^ 2 (3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2) ^ 2 \右)& = \离开(\压裂{d} {dx} (f (x)) ^ 2 \) \离开((3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2 \右)^ 2 \ \ & \四+ (f (x)) ^ 2 \压裂{d} {dx} \离开((3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2) ^ 2 \) \ \ & f (x) = 2 f (x) ((3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2) ^ 2 \ \ & \四+ (f (x)) ^ 2 \ cdot 2 (3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2) \压裂{d} {dx} \离开((3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2 \) \ \ & f (x) = 2 f (x) (3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2) ^ 2 \ \ & \四+ 2 (f (x)) ^ 2 (3 x ^ 2 - (f (x)) ^ 2) (6 x - 2 f (x) f (x))。结束\{对齐}\]

将等式的左右两边结合起来，将\(f(x)\)替换为\(y\)得到:

\ [2 yy ' (3 x ^ 2 - y ^ 2) ^ 2 + 2 y ^ 2 (3 x ^ 2 y ^ 2) (6 x-2yy ') = 4 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 (2 x + 2 yy”)。\]

现在将点\(A\)代入上面的方程，求出\(y'\)。将\(A\)代入等式左边，得到:

\[\begin{align} & \left。2 yy (3 x ^ 2 - y ^ 2) ^ 2 + 2 y ^ 2 (3 x ^ 2 y ^ 2) (6 x-2yy”)\右| _A \ \ & \四= 2 \ cdot \压裂{1}{2}y ' \离开(3 \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 - \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 \右)^ 2 \ \ & \四\四+ 2 \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 \离开(3 \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 - \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 \右)左(6 \ \离开(\压裂{1}{2}\右)2 \离开(\压裂{1}{2}\右)y ' \) \ \ & \四= y ' \离开(\压裂{2}{4}\右)^ 2 + \压裂{2}{4}\ cdot \压裂{2}{4}(仍)\ \ & \四= \压裂{y '}{4} + \压裂{3}{4}- \压裂{y '}{4} \ \ & \四= \压裂{3}{4}。结束\{对齐}\]

将\(A\)代入方程右侧，得到表达式:

\[\begin{align} \left。4 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 (2 x + 2 yy) \ | _A & = 4 \离开(\左(\压裂{1}{2}\右)^ 2 + \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 \右)^ 3 \左(2 \ cdot \左(\压裂{1}{2}\右)+ 2 \离开(\压裂{1}{2}\右)y ' \) \ \ & = \压裂{4}{8}+ \压裂{4 y '}{8} \ \ & = \压裂{1}{2}+ \压裂{y '}{2}。结束\{对齐}\]

使两边相等得到

\[\frac{3}{4} =\frac{1}{2} + \frac{y'}{2}，\]

或者换句话说

\[y' = \frac{1}{2}.\]

最后，将这个\(y’\)值和点\(A\)代入某一点处的切线方程，得到方程:

\ [y - \压裂{1}{2}= \压裂{1}{2}\离开(x - \压裂{1}{2}\右)。\]

求y就得到了切线方程

\[y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}.\]

画出这条线，你会发现这就是你要找的那条线。

这条曲线被称为玫瑰曲线，是一种看起来像花的曲线。

让我们找到曲线法线的方程\((x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)+\tfrac{1}{4} \)在\(\左(\ tfrac{1}{2}，\tfrac{1}{2}\右)\)

• 首先，方程两边对x求导:

\[\压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \离开((x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \右)= \压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \离开(2 (x ^ 2 y ^ 2) + \ dfrac {1} {4} \) \]

• 利用链式法则，方程左边变成:

\[\开始{对齐}\压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \离开((x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \右)& = 2 (x ^ 2 + y ^ 2) \压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} (x ^ 2 + y ^ 2) \ \ & = 2 (x ^ 2 + y ^ 2) (2 x + 2 yy) \{对齐}结束\]

由于\(y\)是\(x\)的函数，请记住将其导数表示为\(y'\)。

• 利用链式法则和幂法则，方程的右边变成:

\[\开始{对齐}\压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \离开(2 (x ^ 2 y ^ 2) + \ dfrac{1}{4} \右)& = 2 \压裂{\ mathrm {d}} {\ mathrm d} {x} \离开(x ^ 2 y ^ 2 \右)+ 0 \ \ & = 2 (2 x-2yy”)结束\{对齐}\]

• 结合这两个表达式，我们得到:

\ [2 (x ^ 2 + y ^ 2) (2 x + 2 yy) = 2 (2 x-2yy) \]

• 接下来，我们将点\(\left(\tfrac{1}{2}，\tfrac{1}{2}\right)\)代入上面的表达式，求该点的切线斜率。这样做，我们得到:

\[2 \左(\左(\ dfrac{1}{2} \右)^ 2 + \离开(\ dfrac{1}{2} \右)^ 2 \)\左(2 \ dfrac {1} {2} + 2 \ dfrac {1} {2} y ' \右)= 2 \左(2 \ dfrac {1} {2} 2 \ dfrac {1} {2} y ' \) \]

• 简化后，得到如下表达式:

\ [1 + y ' = 2-2y ' \]

• 解出y'，我们得到:

\ [y ' = \ dfrac {1} {3} \]

所以，斜率切线在\ \离开(\ tfrac {1} {2}, \ tfrac{1}{2} \) \) \是(\ tfrac{1}{3} \)。得到的斜率法线，求切线斜率的负倒数，得到\(-3\)。

最后，我们可以把我们的点和斜率代入法线方程，得到:

\ [y - \ dfrac{1}{2} = 3 \离开(x - \ dfrac {1} {2} \) \]

简化并求解\(y\)，我们得到法线的方程(如下图所示)为

\ [y = 3 x + 2 \]。

隐式曲线的法线垂直于切线，可以用隐式微分法求出