功和动能

常见的非保守力是空气阻力和摩擦。

一个质量物体\(m=2.0\;\mathrm{kg}\)被从起始点\(\vec{r} =(x_i,z_i)=(0\;\mathrm，\;0\;\mathrm)\)向上推至终点\((x_f,z_f)=(3\;\mathrm，\;3\;\mathrm)\)。我们将考虑两条路径。路径1是抛物线\(z=x^2\)，路径2是四分之一圆，其方程为\({(x-1)}^2+{(z-3)}^2=4\)。在每条路径的位移过程中重力做的功是多少?

解决方案

重力是一个保守力。因此，工作量将不依赖于所采取的路径。由于引力的作用是恒定的\(mg， \)，其中\(g \)是地球引力场的强度，\ (g=10\，\mathrm{\frac{N}{kg}}， \)我们不需要积分。

$$W=\vec{F}\cdot\vec{r} = -mgz$$

这里，负号表示重力向下，与位移相反。另外，注意我们只关心位移的垂直分量，因为只有力的平行分量做功。

$ $ W = -mgz = (2.0 \; \ mathrm{公斤})\离开(10 \;{\ textstyle \压裂{\ mathrm N} {\ mathrm{公斤}}}\右)(3 \;\ mathrm米)= -60 \;\ mathrm j . $ $

因为系统获得了势能

\[\ U = U_f- U_i = mgz-mg\左(0\右)= mgz。\]

做的功引力有负号符合我们的惯例，即它等于势能变化的负数\[W_\text{cons}= -\ U = -mgz。\]

当物体离开地面时，重力做负功，物体获得重力势能。

一个质量块，\ (m，\)连接到一个弹簧上，它被固定在位置\(x=A\)上。当它被释放时，它会因为弹簧的力而移动。在位移方向上，还有一个附加的摩擦力作用在系统上，它由表达式\({F}= b{x}\)给出，其中\(b\)是一个正常数。物体第一次经过平衡位置\(x=0\)时的速度是多少?

(一)\ \√{\压裂{(k + b)} m} \)

(B) \ \√{m \压裂{(k-b)}} \)

(C) \ \√{\压裂{(\ frac12k + b)} m} \)

(D) \ \√{\压裂{(\ frac12k-b)} m} \)

(E) \ \√{\压裂{\ frac12 (k-b)} m} \)

解决方案

其中一个对系统做功的力是摩擦力。摩擦力是非保守力，所以我们需要考虑它的运动路径。然而，这里的运动是直线的，所以我们只是在\(x\text{-}\)方向上积分。当它从位置\(A\)滑到\(0\):

$ ${对齐*}W_ \ \开始文本{摩擦}& = \ int_A ^ 0 vec {F} \ \ cdot \ vec {\ mathrm {d} {x}},{摩擦}\ \ W_ \文本& = \ int_A ^ 0 | b {x} | |{\文字d} {x} | \因为{0 ^ \保监会},{摩擦}\ \ W_ \文本& = \ int_A ^ 0 x bx文本\ d{},{摩擦}\ \ W_ \文本& = \离开。\ frac12bx ^ 2 \ | _A ^ 0 \ \ W_ \{摩擦}& = -文本\ frac12bA ^ 2。\{对齐*}$ $

摩擦力做负功，与它做反功相反弹簧力也就是做功。我们可以通过观察力的形式\(\vec{F}= -k\vec{x}，\)，它与摩擦力的形式相似，但符号相反。当物体从A移动到平衡位置时，弹簧力将弹簧的势能转化为动能。

物体初始静止时，初始动能为零。弹簧的初始势能由

$ $ U_{\文本{春天}}= \ frac12kx ^ 2。$ $

最终势能为零，因为最终位置是平衡位置。现在我们可以通过功的定义来确定物体经过平衡位置时的速度:

$ ${对齐*}W_ \ \开始文本{摩擦}& = \δE,文本\ \ W_ \{摩擦}& = \;K_ {f}}{\文本-K_{\文本{我}}+ U_{\文本{f}} U_{我}}{\文本,\ \ \ cancelto0 {K_{\文本{我}}}+ U_{\文本{我}}+文本W_ \{摩擦}& = \;K_{\文本{f}} + \ cancelto0 {U_{\文本{f}}}, \ \ \ frac12kA ^ 2 - \ frac12bA ^ 2 & = \ frac12mv ^ 2 \ \ v = A \√6 m}{\压裂{k-b}。\{对齐*}$ $

这对应于选项(B)。

一个文本\(11 \ \{公斤}\)物体最初静止在一个阶梯的顶端文本\ (10 \ \ {m} \)．如果我们知道物体在梯子顶端时的最大势能为\(98\，\text{J}\)，则确定物体下落到地面时所做的功。

最初，势能最大\(98\，\text{J}\)，因此物体的初始动能为零。当物体到达地面时，其势能变为零，转化为\(98\，\text{J}\)的动能。功-能量定理允许我们确定对物体所做的净功，也就是重力所做的功:

$ $ \{对齐*}开始W_{\文本{净}}& = K_{\文本{f}} - \ cancelto0 {K_{\文本{我}}},\ \ W_{\文本{净}}& = 98 \ \ {J}文本。\{对齐*}$ $

重力对物体做正功，所以当物体从梯子上下落时，它的势能转化为动能。